Справочник Бухгалтера

Доходность портфеля напрямую зависит от ожидаемых доходностей входящих в него активов и удельного веса (доли) каждого из них в его структуре. Таким образом, это просто средняя взвешенная величина из соответствующих доходностей отдельных активов. Рассмотрим следующий пример.

Пример 12. Пусть портфель сформирован из двух рисковых активов (например акций) А и В, характеристики которых представлены в табл. 8.2. Требуется определить доходность и риск портфеля АВ.

Таблица 8.2

Рисковые активы портфеля

Состав	Доходность, %	Риск, %	Доля в портфеле
Актив А
Актив В

Решение

Доходность данного портфеля может быть определена по формуле

где ХA, ХB – доля соответствующего актива в портфеле; RA, RB – средняя ожидаемая доходность активов A и В.

Для рассматриваемого примера средняя ожидаемая доходность портфеля будет равна

Под риском можно понимать вероятность возникновения каких-либо отклонений от ожидаемого события. Основополагающими мерами риска финансового актива являются такие показатели, как стандартное отклонение (σ) и дисперсия (D = σ2) сто доходности. В качестве синонима понятия «стандартное отклонение» используют также термин «волатильность». Стандартное отклонение и дисперсия доходности актива отражают степень возможного разброса его фактической доходности вокруг его средней (наиболее вероятной) доходности. Данные меры риска можно определить на основе прошлых данных статистики доходности актива.

Доходность актива на рассматриваемом интервале определяется следующим образом:

где St-1 – стоимость актива в начале интервала наблюдения; St – стоимость актива в конце интервала наблюдения.

Пусть имеются значения доходности акции за п равных интервалов наблюдения. За первый интервал она составила величину R1, за второй – R2 и т.д., за п-й интервал – Rn

Средняя доходность актива за наблюдаемый период (R) рассчитывается по формуле

Дисперсия доходности актива определяется как мера разброса наблюдаемой доходности (в процентах) от ее математического ожидания (средней величины). Формула генеральной дисперсии имеет вид

В случае если количество наблюдений незначительно (меньше 30), то для получения несмещенной оценки рекомендуется использовать так называемую исправленную дисперсию:

Показателем, характеризующим относительный уровень риска финансового актива, является стандартное отклонение его доходности от ожидаемой (средней за период):

При этом оценка допустимого уровня стандартного отклонения является субъективной и характеризует готовность инвестора принимать риск с учетом возможной доходности финансового актива.

Для количественной оценки риска используют коэффициент вариации, отражающий меру относительного разброса случайной величины; он показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс:

Как и для отдельного актива, риск портфеля измеряется показателями, характеризующими изменчивость его доходности, например дисперсией D или стандартным отклонением σ.

Однако помимо индивидуальных рисков отдельных активов и доли каждого из них в структуре портфеля на его совокупный риск значительное влияние будет также оказывать степень зависимости доходности включенных активов друг от друга. Поэтому расчет риска портфеля как среднего взвешенного из рисков составляющих его активов будет некорректным, так как приведет к игнорированию возможных взаимосвязей между изменениями их доходности.

Для оценки взаимосвязи изменений двух переменных в теории вероятностей и математической статистике используются два показателя: ковариация и корреляция.

Ковариация характеризует взаимную изменчивость двух показателей.

Формула для определения ковариации доходностей двух активов А и В будет иметь следующий вид:

где п – количество интервалов, за которые наблюдались значения доходности.

Положительная ковариация означает, что доходности двух активов изменяются в среднем в одном направлении, а отрицательная – что в противоположном.

Понятие корреляции двух показателей аналогично понятию их ковариации. Коэффициент корреляции является производным показателем от ковариации и вычисляется делением (нормированием) последнего на произведение соответствующих стандартных отклонений:

Коэффициент корреляции принимает значение в фиксированном диапазоне и поэтому более удобен и нагляден в интерпретации.

При этом значение corr = +1 (полная положительная корреляция) означает существование линейной зависимости между изменениями двух показателей. Нетрудно заметить, что доходность любого актива полностью положительно коррелированна сама с собой.

При corr = -1 (полная отрицательная корреляция) между изменениями показателей существует обратная линейная взаимосвязь.

Если corr = 0 (отсутствие корреляции), показатели изменяются независимо друг от друга.

Понятия ковариации и корреляции играют важнейшую роль в определении риска портфеля и теории инвестиций в целом. В частности, с учетом возможных взаимосвязей доходностей риск портфеля из двух активов А и В может быть определен по формуле

где ХA, ХB – доли соответствующих ценных бумаг (A и В) в портфеле; σA, σB – стандартные отклонения доходностей ценных бумаг (A и В); covAB – коэффициент ковариации доходностей ценных бумаг (A и В).

Через коэффициент корреляции риск портфеля из двух активов А и В может быть определен по формуле

где ХA, ХB – доли соответствующих ценных бумаг (A и В) в портфеле; σА, σΒ – стандартные отклонения доходностей ценных бумаг (А и В); corrАВ – коэффициент корреляции доходностей ценных бумаг (Л и В).

Определим риск портфеля AВ из примера 11:

Как следует из полученного результата, риск портфеля непосредственно зависит от значения коэффициента ковариации (а следовательно, и корреляции). Однако последний никак не влияет на сто доходность. Рассмотрим три важных частных случая, используя данные рассмотренного примера.

1. При corr = 1 (полная положительная корреляция) риск портфеля из двух активов будет равен

Таким образом, в данном случае риск портфеля зависит только от риска и доли каждого актива, входящего в портфель.

В частности, для примера 11 риск портфеля будет равен

На рис. 8.5 приведена графическая интерпретация взаимосвязи риска и доходности портфеля из двух полностью коррелированных активов. Точкой АВ на графике обозначено местоположение портфеля из нашего примера.

Как и следовало ожидать, зависимость является линейной. Таким образом, при corrAВ = 1 все возможные портфели, построенные из различных комбинаций активов A и В, будут лежать на одной прямой, проведенной между точками их расположения. Для нашего примера это будет прямая, проходящая через точки А и В с координатами (20%; 5%) и (40%; 15%) соответственно.

2. При corr = 0 (независимость изменения доходностей активов) риск портфеля из двух активов равен

Рис. 8.5. Доходность и риск портфеля AВ при corrAB = 1

Для примера 11 риск портфеля при corrAB = 0 будет равен

На рис. 8.6 приведена графическая иллюстрация для данного случая. Нетрудно заметить, что риск портфеля А В меньше, чем индивидуальные риски составляющих его активов.

3. При corr = –1 (полная отрицательная корреляция) риск портфеля из двух активов будет равен

Таким образом, в данном случае риски отдельных активов в портфеле уравновешивают друг друга. Более того, при оп-

Рис. 8.6. Доходность и риск портфеля АВ при corrAB = 0

Рис. 8.7. Доходность и риск портфеля AВ при corrAB = -1

ределенной структуре портфеля его риск может быть полностью устранен.

В частности, для примера 11 риск портфеля будет равен

На рис. 8.7 приведена графическая иллюстрация данного случая.

Для определения структуры портфеля, приводящей к полному устранению риска, выразим долю актива B через актив A. Поскольку общая сумма долей каждого актива в портфеле должна быть равна 1, или 100%, имеем: ХB = (1 – ХА). Подставив полученное выражение в предыдущую формулу с условием σAΒ = 0, получим

На практике доходности активов, как правило, имеют положительную корреляцию. В общем случае (при 0 < corr < 1) доля инвестиций в актив A, которая минимизирует риск портфеля из двух активов, определяется по формуле

где через обозначена корреляция доходностей активов A и В.

Соответственно,

Полученные результаты позволяют сделать ряд важных выводов.

• 1. При отсутствии полной положительной корреляции между доходностями активов () риск сформированного из них портфеля будет всегда меньше средней взвешенной рисков отдельных активов.
• 2. В случае полной отрицательной корреляции между доходностями активов () риск сформированного из них портфеля может быть сведен к нулю.
• 3. Если доходности активов сильно коррелированы между собой (), формирование портфеля не приводит к снижению риска.

Снижение инвестиционного риска в результате формирования портфеля из различных активов известно как эффект диверсификации.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольного количества рисковых активов. Формула для определения ожидаемой доходности портфеля, состоящего из п активов, имеет вид

Формула для определения ожидаемого стандартного отклонения доходности портфеля, состоящего из п активов, имеет вид

В формуле стоит знак двойной суммы . Это означает, что, раскрывая его, мы должны вначале взять значение i= 1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для i = 2, и т.д. В итоге получим п2 слагаемых.

Для оценки риска портфеля, состоящего из нескольких активов, можно использовать аппарат матриц.

Уровень риска портфеля ценных бумаг (через дисперсию) будет оцениваться следующим образом:

где X – матрица-столбец удельных весов активов в портфеле:

XT – транспонированная матрица удельных весов активов в портфеле (матрица-строка):

Q – матрица ковариаций доходностей активов в портфеле:

Таким образом, оценка риска портфеля ценных бумаг (по дисперсии) осуществляется путем умножения матриц:

Риск портфеля определяется по формуле . Также формула для оценки риска портфеля может быть представлена через корреляцию доходностей ценных бумаг:

Данная формула наглядно показывает, что портфельный риск состоит из двух различных компонент, или слагаемых. Первое слагаемое – это риск, связанный только с изменчивостью (дисперсиями) доходностей отдельных активов. Этот риск называется несистематическим или уникальным риском, присущим отдельным активам или предприятиям. Примерами несистематических рисков могут служить:

• • утрата активов, ключевых поставщиков и клиентов, персонала и т.п.;
• • падение спроса или цен на продукцию предприятия;
• • неудачная реализация новых проектов;
• • неэффективный менеджмент;
• • судебные разбирательства, забастовки и т.п.

Второе слагаемое в указанной формуле определяет риск, связанный с взаимосвязью (корреляцией или ковариацией) между взаимными изменениями доходностей активов, включенных в портфель. Данному риску в большей или меньшей степени подвержены все хозяйствующие субъекты. Поэтому его называют систематическим или рыночным. Основными причинами этого риска могут быть:

• • спад или кризис в экономике страны;
• • политическая нестабильность;
• • резкие изменения в законодательстве, финансовой (налоговой, денежной, бюджетной и т.п.) политике государства;
• • инфляция, колебания процентных ставок и др.

Необходимость разделения риска на несистематический и систематический заключается в том, что эти виды риска ведут себя по-разному, когда количество активов, включаемых в портфель, увеличивается.

Предположим, что все активы в портфеле независимы между собой (все corrij = 0) и имеют одинаковые веса (Xi = 1/п). Тогда формула оценки риска портфеля активов примет следующий вид:

Выражение под корнем является суммарным собственным риском активов, образующих портфель. Однако собственный риск портфеля будет в п раз меньше. Очевидно, что с ростом числа независимых активов в портфеле его собственный риск будет снижаться и в конечном итоге станет несущественным.

При первое слагаемое в данной формуле будет

стремиться к 0, а второе – к величине .

Таким образом, несмотря на диверсификацию, минимальный риск такого портфеля остается равным . Это свидетельствует о том, что для портфеля из положительно коррелированных активов () существует некоторый предел диверсификации, и в данном случае полностью устранить риски невозможно.

Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

• • если доходности активов не являются полностью положительно коррелированными (), то диверсификация портфеля уменьшает его дисперсию (риск) без уменьшения его средней доходности;
• • в случае хорошо диверсифицированного портфеля несистематическим риском можно пренебречь, так как он стремится к нулю;
• • диверсификация не ведет к устранению систематического риска.

Графическая иллюстрация эффекта диверсификации, а также ее влияние на различные виды риска приведены на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Эффект диверсификации 8.4.2. Теория Марковица

Основы теоретического подхода к анализу и формированию инвестиционного портфеля из рисковых активов, базирующегося на идее диверсификации, были разработаны американским ученым Г. Марковицем (G. Markowitz), которому впоследствии была присуждена Нобелевская премия в области экономики.

Портфельная теория Марковица базируется на ряде допущений, наиболее существенными из которых являются следующие.

• 1. Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях или дисперсиях за период владения.
• 2. Инвесторы никогда не бывают пресыщенными. При выборе между портфелями они предпочтут тот, который при прочих равных условиях дает наибольшую ожидаемую доходность.
• 3. Инвесторы не расположены к риску. Таким образом, при выборе между портфелями они предпочтут тот, который при прочих равных условиях имеет меньший риск (стандартное отклонение).

Из выполнения пунктов 2 и 3, в частности, следует, что все инвесторы ведут себя рационально. Тогда эффективный с точки зрения критерия «риск – доходность» портфель будет выбираться рациональным инвестором из всего множества доступных активов и их комбинаций (портфелей), обеспечивающих:

• • максимальную ожидаемую доходность R для некоторого уровня риска σ;
• • минимальный риск σ для заданного уровня ожидаемой доходности R.

Набор портфелей, удовлетворяющий этим условиям, называется эффективным множеством портфелей. Множество всех эффективных портфелей в системе координат «риск- доходность» образует так называемую эффективную границу, или границу Марковица. Графическая иллюстрация доступного и эффективного множества портфелей представлена на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Множество доступных портфелей и эффективная граница

Как следует из рисунка и сформулированных выше условий эффективности, привлекательными для рациональных инвесторов будут только те портфели, которые лежат на границе плоскости между точками Е (портфель с наименьшим уровнем риска) и Z (портфель с наибольшим уровнем доходности). Этот участок образует эффективную границу Марковица. Портфели, лежащие ниже точки Е и за точкой Z, а также в любой точке плоскости допустимого множества, не являются эффективными. Рассмотрим в качестве примера портфель N. Как следует из рис. 8.9, этот портфель не может быть эффективным по критерию «риск – доходность», поскольку портфель E1 обеспечивает ту же доходность, но при значительно меньшем уровне риска, а портфель Е2 дает возможность получить бо́льшую доходность при том же уровне риска.

Какой именно портфель выберет инвестор, зависит от его индивидуального отношения к риску. Однако в соответствии с заданными допущениями рациональный инвестор всегда будет выбирать портфель, лежащий на эффективной границе. Этот выбор осуществляется посредством анализа и определения приемлемого соотношения риска и доходности для каждого инвестора.

Задача определения оптимального портфеля для конкретного инвестора может быть решена аналитически – минимизацией риска, выраженного дисперсией или стандартным отклонением при заданном уровне доходности, либо максимизацией доходности при заданном уровне риска. В классической постановке Марковица задача формирования оптимального портфеля имеет следующий вид:

при условиях

Данная задача решается методами квадратичного программирования. Решение этой задачи требует предварительной оценки N доходностей, N дисперсий и ковариаций, т.е. параметров (например, анализ 20 рисковых бумаг потребует оценки 230 параметров). Следует отметить, что в настоящее время с вычислительной точки зрения провести подобную оценку не составляет большого труда, в частности для этих целей можно использовать специальные средства популярного офисного пакета MS Excel.

Подходу Марковица присущи и другие ограничения, связанные с положенными в его основу допущениями. Вместе с тем полученные им результаты положили начало современной теории портфельного инвестирования, дали мощный толчок к дальнейшим исследованиям и в целом сохраняют свою актуальность по нынешний день.

Портфель ценных бумаг – это все ценные бумаги, владельцем которых является одно физическое или юридическое лицо.

История создания

Портфель ценных бумаг появился практически одновременно с самими ценными бумагами. Последние появились в виде долговых расписок еще в древние времена вместе с деньгами и письменностью. Переводные векселя, которые стимулировали развитие мировой торговли, появились в Средние века.

Классификация портфелей ценных бумаг

1. По составу:

• фиксированные;
• меняющиеся.

2. По возможности пополнения:

• пополняемые;
• постоянные;
• отзывные.

3. По сроку действия:

• срочные;
• бессрочные.

4. По цели их формирования:

• портфель роста;
• портфель рискового капитала;
• портфель дохода;
• сбалансированный портфель.

5. По виду ценных бумаг:

• краткосрочных ценных бумаг;
• долгосрочных ценных бумаг;
• специальных финансовых инструментов;
• региональных и отраслевых ценных бумаг;
• зарубежных ценных бумаг.

6. По критерию доход/риски:

• агрессивного инвестора;
• умеренного инвестора;
• консервативного инвестора;
• неэффективного инвестора.

Экономическая сущность

Экономическая сущность портфеля ценных бумаг состоит в создании такого блока ценных бумаг, которые будут приносить максимальную доходность с наименьшими рисками. Основным плюсом формирования портфеля является то, что нет возможности достигнуть подобных характеристик при наличии только одной ценной бумаги.

olegas
1 год ago / 66 Views

Ни для кого не секрет, что основной целью инвестиций в ценные бумаги является получение максимально возможной прибыли при сохранении приемлемого уровня риска. В этой статье я расскажу вам о том, какие виды ценных бумаг обладают потенциально большим потенциалом доходности. Вы узнаете о том из чего складывается их доходность и каким образом она вычисляется. Наконец, мы с вами подробно поговорим о том, как можно провести предварительную оценку и рассчитать ожидаемую доходность ценных бумаг ещё на этапе их выбора.

Какие бумаги потенциально самые прибыльные

Ответ на этот вопрос довольно прост: самый большой потенциал в плане прибыли имеют ценные бумаги с таким же большим уровнем риска. Чем выше риск, который готов взять на себя инвестор, тем выше тот доход, который он может в итоге получить. Ключевое слово в данном случае – «может», поскольку с увеличением степени риска вероятность получения дохода постепенно тает.

Соотношение риска и доходности

То есть, другими словами, увеличивая степень риска инвестор одновременно и повышает свою потенциальную доходность, и снижает вероятность её получения. Поэтому в инвестициях так важно найти ту самую золотую середину, тот уровень риска при котором можно рассчитывать на относительно высокую прибыль с достаточно большой вероятностью её получения.

Минимальным риском, но и наименьшей степенью доходности отличаются такие бумаги, как государственные облигации. Обычно процент по ним сопоставим с доходностью банковских депозитов и едва превышает текущий уровень инфляции. Инвестирование в бумаги данного типа целесообразно в тех случаях, когда основной целью является не приумножение, а сохранение своих денежных средств.

На ступеньку выше стоят корпоративные облигации крупнейших компаний. Они также обладают достаточной степенью надёжности, но позволяют получить чуть большую прибыль (в отличие от бумаг выпущенных государством). Ещё выше по доходности – акции тех же самых компаний, но и риск по ним тоже чуть выше. Облигация по природе своей — долговая ценная бумага, то есть она подразумевает возврат долга и процентов по нему в любом случае. А вот акция — бумага долевая. Она даёт своему владельцу долю в бизнесе компании её выпустившей, но вместе с этим он принимает на себя и определённые риски (в частности, убытки в результате возможного снижения курса акций).

Ещё более рисковыми, но и потенциально более доходными являются акции и облигации выпущенные не столь известными и не столь крупными компаниями. При этом, чем менее известна компания, тем большую прибыль она вынуждена обещать по своим облигациям (иначе никто не захочет их покупать) и тем сильнее могут в итоге «выстрелить» её акции. Ведь согласитесь, что у автосервиса за углом вашего дома, потенциал к возможному росту куда выше чем, например, у Газпрома или Сбербанка. Автосервис может увеличиться в тысячи раз развивая свой бизнес в сеть по всему городу, по всей стране или, в конце концов, даже по всему миру (вовсе не обязательно что он это сделает, но, тем не менее, теоретическая возможность этого ведь существует). А вот Газпром это уже и так достаточно крупная организация и вряд ли он сможет увеличить свою рыночную капитализацию даже в 5-10 раз.

Есть ещё такие бумаги как фьючерсные и опционные контракты. Торговля ими осуществляется с использованием кредитного плеча (левериджа) и, соответственно, размер потенциальной прибыли в данном случае гораздо выше, он прямо пропорционален размеру предоставляемого плеча. Аналогичным образом растёт и риск.

Предположим, что вы решили приобрести фьючерс на акции IBM. Спецификация данного фьючерсного контракта подразумевает его торговлю с размером левериджа 1 к 10. То есть, при цене одной акции в 135 долларов, обладая суммой в 1350$, вы можете приобрести не десять, а сто таких акций. Хотя если говорить точнее, в данном случае вы приобретёте не сами акции IBM, а фьючерсный контракт на их покупку. Но сути дела это сильно не меняет, ведь по истечении срока данного контракта вы сможете получить прибыль равнозначную той, которая была бы у вас при продаже этих самых акций. Правда при этом и возможный убыток будет равен тому, который вам принесло бы обладание 100 акциями IBM в случае снижения их курсовой стоимости.

Формулы расчёта доходности ценных бумаг

Вообще, доходность по ценным бумагам может складываться из следующих величин:

1. Спекулятивный доход получаемый в результате реализации курсовой разницы при покупке и продаже ценных бумаг;
2. Доход получаемый в виде дивидендов по акциям или в виде процентов по облигациям (купонный доход).

Кроме этого можно говорить о фактической и ожидаемой доходности инвестиций. Фактическая доходность отражает ту величину прибыли, которая была получена, что называется, постфактум. А ожидаемая — показывает ту её величину, которую можно будет получить в будущем.

Про ожидаемую доходность мы поговорим в следующем разделе, а сейчас давайте рассмотрим как рассчитывается фактическая доходность инвестиций в ценные бумаги.

Если речь идёт о чисто спекулятивной доходности (от разницы курсовой стоимости), то её легко можно рассчитать по формуле:

В том случае, если помимо курсовой разницы были получены ещё проценты или дивиденды, доход рассчитывается по формуле:

Обычно доходность рассчитывается в процентах годовых. Для того чтобы привести рассчитанные по вышеприведённым формулам результаты к годовой доходности, следует воспользоваться этой зависимостью:

Ожидаемая доходность ценных бумаг

Грамотное инвестирование в ценные бумаги, предполагает вероятностную оценку рисков и возможностей, выбор допускаемого значения риска и сопоставимого с ним потенциального уровня доходности**. Об инвестиционных рисках и о способах их минимизации мы говорили с вами . А сейчас я расскажу вам о том, как оценить потенциальную доходность ценных бумаг.

Оценить ожидаемую доходность (ОД) можно двумя различными методами. Первый метод основан на вероятностях (математическом ожидании), а второй — на исторических данных. Давайте начнём с вероятностного метода оценки.

** Как мы уже говорили с вами выше, риск и доходность ценных бумаг находятся в прямо пропорциональной зависимости друг от друга. Чем выше риск, тем выше потенциальный уровень доходности и наоборот. Такое положение вещей обусловлено тем, что рынок сам устанавливает данное соотношение, ведь никто не хочет покупать высокорисковые бумаги с небольшим уровнем доходности.

Оценка доходности на основе математического ожидания

В данном случае учитываются все возможные варианты размера предполагаемой доходности вкупе с их вероятностью. Причём наибольший вес придаётся тем значениям, вероятность получения которых выше.

Расчёт производится по формуле:

Для наглядности вычислений, давайте приведём простой пример. Допустим перед инвестором встал выбор из двух бумаг со следующим распределением вероятностей прибылей по ним:

1. Бумага А предположительно принесёт доходность в 10% с вероятностью в 50%, доходность в 7% с вероятностью в 30% или доходность в 4% с вероятностью в 20%;
2. Бумага Б. Вероятность доходности в 12% составляет 30%, вероятность доходности в 8% составляет 35% и вероятность доходности в 5% составляет 35%.

Сначала рассчитываем ожидаемую доходность для бумаги А:

ОД = (0,1*0,5) + (0,07*0,3) + (0,04*0,2) = 0,079 = 7,9%

А теперь рассчитаем ожидаемую доходность для бумаги Б:

ОД = (0,12*0,3) + (0,08*0,35) + (0,05*0,35) = 0,081 = 8,1%

Очевидно, что фактическое значение доходности, скорее всего, будет несколько отличаться от рассчитанного по вышеприведённой формуле. Оценить разброс значений фактических, относительно значений расчётных, можно рассчитав величину дисперсии.

Дисперсия рассчитывается по формуле:

Для нашего примера получим дисперсию для бумаги А:

0,5(0,1 — 0,079)2 + 0,3(0,07 — 0,079)2 + 0,2(0,04 — 0,079)2 = 0,000549

И дисперсию для бумаги Б:

0,3(0,12 — 0,081)2 + 0,35(0,08 — 0,081)2 + 0,35(0,05 — 0,081)2 = 0,000793

Дисперсия показывает тот уровень риска, который повлечёт за собой инвестирование в бумагу для которой была рассчитана ожидаемая доходность на основе вероятностей (математического ожидания). Чем больше дисперсия, тем больше возможное отклонение фактического значения ОД от расчётного.

В нашем примере дисперсия для бумаги Б несколько выше аналогичного показателя для бумаги А. Однако, разница между ними совсем незначительная (не на порядок), поэтому можно считать, что риски рассматриваемых бумаг примерно равны. Следовательно, при прочих равных, инвестирование в бумагу Б является предпочтительным.

Оценка доходности на основе исторических данных

Как вы понимаете, не всегда есть возможность объективно оценить вероятности получения того или иного размера прибыли. Поэтому, на практике часто используют второй метод оценки ОД. Для второго способа расчёта ОД предполагается наличие данных по доходности за несколько равных временных периодов (например, за несколько лет).

Расчёт производится по следующей формуле:

Для примера, давайте опять сравним акции двух компаний А и Б. Для простоты примера возьмём статистику годовой доходности за три последних года. Пускай акции компании А приносили доход в размере:

1. Первый год — 10%;
2. Второй год — 8%;
3. Трети год — 15%.

А акции компании Б:

1. Первый год — 5%;
2. Второй год — 15%;
3. Третий год — 10%.

Подставляя эти значения в формулу получим, для акций компании А:

ОД = (10+8+15)/3 = 11%

Для акций компании Б:

ОД = (5+15+10)/3 = 10%

Как видите, согласно расчёту, акции компании Б оказываются чуть более выгодными. Однако следует иметь ввиду, что значения доходности в прошлом, не гарантируют её в будущем. Так, в данном примере, на третий год произошло некоторое снижение прибыли. Это может быть вызвано как временными, но преодолимыми трудностями (вызванными, например, изменением конъюнктуры на рынках сбыта), так и свидетельствовать о более серьёзных проблемах компании (наличие которых, скорее всего, повлечёт за собой дальнейшее снижение прибыльности её бумаг).

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции — меры взаимосвязи).

σi — стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij — коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов — акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход — составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов — платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.
Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.
Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге. Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)

Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.
Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)

Этап 4. Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp <= 4%.

В надстройке «Поиск решений» меняем оптимизируемую ячейку на доходность портфеля, ее максимизируем. Меняем ограничение — теперь ограничиваем риск.

В результате имеем портфель с 15% долей VISA и 85% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Сильные стороны модели Марковица

• Систематизация подхода к формированию портфеля.

• Относительная простота модели. Расчеты может провести любой инвестор в общедоступной программе Excel.

Слабые стороны модели Марковица

• Основная предпосылка модели — эффективные рынки капитала, где действуют рациональные агенты, а значит, не может быть продолжительных иррациональных движений.

• Будущая доходность основывается только на историческом значении доходностей бумаг и не включает влияние макро- и микро- и поведенческих факторов. В реальном мире если акция долго падала, то ожидаемая доходность скорее будет положительной.

• Риск финансового инструмента оценивается с помощью среднеквадратичного отклонения. Однако позитивное изменение доходности выше среднего по факту не является риском.

Начать инвестировать

БКС Брокер