Справочник Бухгалтера

Не путать с пустой суммой или нулевой игрой . Для использования в других целях, см Нулевая сумма (значения) .

В теории игр и экономической теории игра с нулевой суммой — это математическое представление ситуации, в которой выгода или потеря полезности каждого участника точно уравновешиваются потерями или выигрышем от полезности других участников. Если сложить общие выигрыши участников и вычесть общие убытки, они будут равны нулю. Таким образом, резка торт , где принимает большую часть уменьшает количество пирога доступной для других столько , сколько это увеличивает количество доступных для этого берущего, это игра с нулевой суммой , если все участники оценивают каждую единицу пирога одинаково (см предельной полезности ).

Напротив, ненулевое значение описывает ситуацию, в которой совокупные прибыли и убытки взаимодействующих сторон могут быть меньше или больше нуля. Игра с нулевой суммой также называется строго соревновательной игрой, в то время как игры с ненулевой суммой могут быть соревновательными или неконкурентными. Игры с нулевой суммой чаще всего решаются с помощью теоремы о минимаксе, которая тесно связана с двойственностью линейного программирования , или с помощью равновесия по Нэшу .

Многие люди имеют когнитивную предвзятость в отношении ситуации с нулевой суммой, известную как предвзятость с нулевой суммой .

Пусть всего имеется п вариантов проведения работ и т вариантов залегания полезных ископаемых. Пусть интересы лица, принимающего решения, удалось выразить в виде единственного показателя, который при г-м варианте проведения работ и -м варианте залегания ископаемых имеет значение а . Пусть ЛПР заинтересован в увеличении этого показателя. Матрица коэффициентов atj (i = l,. .., п / = 1,. .., т) (часто называемая матрицей выигрышей) является моделью изучаемой ситуации и описывает зависимость показателя от решений и природных условий.  

Проиллюстрируем эти подходы на простом примере, в котором имеются десять вариантов проведения работ и четыре варианта расположения ископаемых. Значения коэффициентов матрицы выигрышей, а также некоторые основные и вспомогательные показатели приведены в табл. 3.2 (выигрыши измеряются, скажем, в миллионах рублей).  
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т. е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.  
При принятии решений в условиях неопределенности следует оценить различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации, вытекающие из различных критериев, совпадают, можно с большой уверенностью выбрать наилучшие решения. Если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон (социальной значимости проекта, экологической безопасности и т.д.). В любом случае анализ матрицы выигрышей или рисков под углом зрения разных критериев будет полезен. Он даст лучшее представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения, чем непосредственное рассмотрение матрицы, особенно когда размеры ее велики. Выбор решения на основании того или иного критерия будет более обоснованным, чем волевой выбор, который, вообще говоря, также исходит из некоторых критериев, однако интуитивных и точно несформулированных.  
Здесь приведена матрица выигрышей 1-го игрока. Как вы-  
Материальные системы 323 Материальные услуги 373 Матрица 187 Матрица выигрышей 188 Матрица игры 188 Матрица квадратичной формы 140 Матрица МОБ 189 Матрица назначений 101 Матрица оценок 101 Матрица переходных вероятностей 189 Матрица потерь 189, 198 Матрица системы линейных уравнений  
Матрица выигрышей игрока А, которую обозначим через А, имеет следующий вид (рис. 1).  

Рис. 1. Матрица выигрышей игрока А

Значение элементов матрицы выигрышей для поставщика и потребителя зависит от реальной конъюнктуры, в частности, от таких факторов, как возможность продать (купить) другому потребителю (у другого поставщика) в случае отказа участвующего в игре, от способности одного участника игры навязать свои интересы другому, а также от размеров отклонения объема продаж (покупок) и цены от предусмотренной в договоре.  
Например, матрица выигрышей может иметь такой вид, как показано в таблице. Здесь z — реальное количество приобретаемых средств производства г0 — договорный размер спроса потребителя с — реальная цена обмена за единицу товара с0 — договорная цена т — реальный размер  
Если биматричная игра является антагонистической, то матрица выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1 (соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками). Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с этим называется матричной.  
Зачет. Пусть игрок 1 — Студент — готовится к зачету, а игрок 2 — Преподаватель — принимает его ). Будем считать, что у Студента две стратегии хорошо подготовиться (X) или плохо (/7), а у Преподавателя — тоже две стратегии поставить зачет (+) и не поставить его (—). В основу оценки значений функций выигрыша игроков можно положить, например, следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.  
Эта игра — биматричная. В ней каждый игрок имеет по две стратегии признаваться (77) или нет (Я). Матрицами выигрышей игроков являются  
Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составим прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы — стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей. П  
Ясно, что матрицы выигрышей в изоморфных друг другу матричных играх отличаются друг от друга разве лишь порядками строк и столбцов, а в зеркально-изоморфных друг другу играх — еще и транспонированием с переменой знаков всех элементов.  
Применительно к матричным играм говорят о седловых точках матрицы выигрышей. П  
Подчеркнем, что свойство равноценности ситуаций равновесия не поддается обращению из (х, у ) Е (Г) и Н(х,у) = Н(х, у ) вовсе не следует, что и (х, у) Е (Г). Например, в 2Х2-игре с матрицей выигрышей  
Обратимся теперь непосредственно к рассмотрению матричных игр. Матричную игру с матрицей выигрышей А будем, как указывалось, обозначать через Г . Если не оговорено противное, матричная игра будет считаться т X -игрой. Стратегии игрока ] обозначаются номерами соответствующих строк, а стратегии игрока 2 — номерами столбцов, /-я строка матрицы А обозначается через Л/, /-и ее столбец — через Л/у, а элемент, стоящий на их пересечении, — через а .  
Очевидно, ситуацией в матричной игре можно считать пару чисел (/,/), где / — номер строки матрицы выигрышей, / — номер ее столбца.  
Из доказанной в п. 16.1 теоремы вытекает, что если значение VA игры 1 4 заранее известно (например, если оно может быть найдено на основании каких-либо общих свойств матрицы выигрышей А), то многогранники (А) и Э (А) для этой игры можно считать заданными, хотя, быть может, и «в недостаточно явном виде» (т.е. своими гранями, а не вершинами).  
Численное же нахождение оптимальных стратегий в матричных играх требует значительного объема вычислений, который быстро растет с увеличением размеров матрицы выигрышей игры.  
Рассмотрим матричную игру, в которой каждый из игроков имеет по две чистые стратегии. Матрица выигрышей этой игры имеет вид  
Рассмотрим игру Г с матрицей выигрышей -U 51 Максимин элементов  
Рассмотрим игру, в которой игрок 1 имеет две чистые стратегии, а игрок 2 — произвольное число п чистых стратегий. Матрица выигрышей этой игры имеет вид  
Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок 2, а игрок 1 — произвольное их число т. Это значит, что матрица выигрышей такой игры имеет вид  
Итак, пусть нам дана игра с 3 X 3-матрицей выигрышей А. В основу ее решения мы положим следующие соображения.  
Определение. В матричной игре с матрицей выигрышей А стратегия X игрока 1 строго доминирует его стратегию Хп (а стратегия X» строго доминируется стратегией Х )9 если для любого / =у. X A.j >X»A.j.  
Теорема. Пусть в пХп-матричной игре ГА матрица выигрышей А является невырожденной.  
Матрица выигрышей А диагональной игры Г , очевидно, является невырожденной. Для нее  
Рассмотрим игру с т X -матрицей выигрышей Л. Не нарушая общности, можно считать, что все элементы этой матрицы положительны (если это не так, то мы можем,, прибавив ко всем элементам некоторое достаточно большое число, рассматривать получившуюся игру, которая аффинно эквивалентна первоначальной).  
Эта матрица косо симметричная поэтому матричная игра с такой матрицей выигрышей будет симметричной. Следовательно (см. п. 5.5), ее значение должно быть равно нулю, а оба игрока имеют в ней одинаковые оптимальные стратегии. Далее мы будем их называть просто оптимальными стратегиям и, не указывая ни игрока, ни самой игры.  

Пример 1. В диагональной игре с матрицей выигрыша  
Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с матрицами выигрышей А и В обозначается через Г (А, В.) или через ГА в. 12.2. Смешанные стратегии в биматричных играх, как и в матричных играх, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный симплекс. Если X и Y — соответственно векторы, описывающие смешанные стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть,  
Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если  
Пусть Г — Г (А, В) — тХ и-биматричная игра с матрицами выигрышей игроков  
МАТРИЦА ИГРЫ в теории игр, теории решений — таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (напр., исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии). Другие названия, отражающие разные подходы к определению элементов матрицы, но по существу аналогичные Матрица выигрышей, Платежная матрица.  
Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрышей. Поэтому игру с матрицей выигрышей А мы будем обычно обозначать через ГА или Г (Л). Если А является гаХи-матрицей (т.е. имеет m строк и п столбцов), то будем говорить, что ГА есть m X -игра.  
Иногда оказывается, что проверка невырожденности матрицы выигрышей игры затруднительна. Имея в виду такие случаи, желательно исключить проверку невырожденности матрицы из решения игры. В связи с этим представляется полезной следующая лемма.  

С.А. Тихомиров докторант Московского государственного педагогического университета, канд. филолог. наук
Журнал «Аудитор», №2 за 2013 год

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем отраслей, рынков, предприятий, разработок организационных структур, систем управленческого учета и форм стимулирования эффективной деятельности. С помощью теории игр менеджмент предприятия получает возможность предусмотреть ходы своих партнеров и конкурентов.

Значение теории игр как одного из подходов в управленческой аналитике, на наш взгляд, пока недооценено. Общеизвестно, что теория игр дает прекрасные результаты в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр развивалась в рамках экономической науки, изучая поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретикоигровой анализ может быть использован также в управленческом учете, при анализе коммуникативных практик, поведения экономических агентов в системах внутренних и внешних коммуникаций крупных компаний, игроков рынков.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования в менеджменте. За последние 25 лет положение изменилось. Бурный прогресс в промышленности и третьем секторе экономики доказал плодотворность методов теории игр в прикладной сфере, в частности, в менеджменте.

Управление понимается нами как функция системы, направленная на выживание этой системы посредством координации, организации, упорядочения элементов данной системы как между собой (внутри себя), так и с внешней средой . В то же время управление представляет собой деятельность субъекта менеджмента, направленную на изменение состояния объектов и (или) субъектов (в т.ч. и себя), по заранее продуманному сценарию, включающему стратегические, тактические и оперативные подсценарии с точки зрения теории игр. При этом менеджмент – это всегда деятельность по приведению объективного процесса к субъективно выбранной цели. В основе любого управления лежит именно целеполагание.

Отметим, что теория игр – это математический метод изучения оптимальных решений в рамках построения стратегий и тактик в т.н. «игровых ситуациях». Под игрой мы понимаем конкурентный процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон (игроков) имеет собственную, ясно определенную цель (т.н. «победа в игре») и использует некоторый набор стабильных, вариативных и нестабильных (включая стохастические) тактик и стратегий, которые может вести к победе или проигрышу в игре – в зависимости от поведения других игроков. Теория игр способна, на наш взгляд, помочь в выстраивании эффективных стратегий и тактик в менеджменте, управленческом учете, прикладном маркетинге, позволяя выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других игрокахучастниках, их ресурсных возможностях и потенциале и их возможных поступках с учетом существующих рисков.

В данном аспекте теория игр может быть использована в принятии решений управленцами. При этом необходимо отличать теорию игр от теории принятия решений, т.к. теория игр – это раздел исследования операций. Очень важное значение теория игр имеет для изучения поведения (и его моделирования) искусственных интеллектуальных агентов и в изучении кибернетических систем, процессов и особенностей коммуницирования.

Следует отметить, что т.н. «оптимальные решения» или «лучшие стратегии» в математическом моделировании предлагались еще в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов. Известно, что математическая теория игр берет свое начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 г. Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» .

Эта область математики нашла некоторое (хотя и довольно слабое пока) отражение и в коммуникативной практике и корпоративной культуре. Дж. Нэш, в 1949 г. написавший диссертацию по теории игр, а через 45 лет получивший Нобелевскую премию по экономике, в Принстонском университете посещал лекции Джона фон Неймана – одного из «отцов» теории игр. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Дж. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу» или «некооперативное равновесие», в такой ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия.

Фактор устойчивого равновесия очень важен в рыночной экономике. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, т.к. любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьезный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый преследует исключительно эгоистические интересы (действует сам за себя), неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х гг. она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр в экономике (а также в теории и практике коммуникаций, биологии, кибернетике, технике). Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные ведомства и НИИ, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20–30 лет значение теории игр и интерес к ней существенно выросли, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Например, работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г., «Стратегия конфликта» рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого , основоположника организационнодеятельностного подхода. Г.П. Щедровицкий – один из основателей Московского логического кружка (с 1952 г.) и идейный и организационный лидер его непосредственного продолжения – Московского методологического кружка (ММК).

Во время перестройки в СССР Г.П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. Математическая теория игр сегодня бурно развивается, однако математический аппарат теории игр затратен . Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределение рыночной власти и т.п. Ряд известных ученых стали нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот.

Существует гипотеза, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх можно предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике: предположения, используемые при моделировании, нередко нарушаются в реальной экономической ситуации.

Предполагается, что игроки выбирают поведение, максимизирующее их суммарную выгоду (модель поведения «экономического человека»), однако на практике реальное поведение часто не соответствует этой предпосылке по причинам иррациональности, элементов «двойного послания» в системе управления, моделирования обсуждения, иных иррациональных мотивов игроков (включая альтруизм). Однако теория игр может использоваться как разумная идеальная модель по аналогии с такими же моделями в физике. Вместе с тем, зачастую игроки не следуют равновесным стратегиям на практике: в играх «Сороконожка», «Диктатор» часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является сколь-нибудь однозначным сценарием поведения игроков, но лишь объясняет, почему игроки, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Вопрос о том, как игроки приходят к равновесию Нэша, остается открытым.

Вместе с тем, модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит обоснованно.

Однако в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Например, игра «Дилемма заключенного» дает нам еще один пример: следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами. Отметим, что некооперативные игры описывают ситуации в управленческом учете детальнее и дают более точные результаты. Кооперативные игры рассматривают процессы в целом. Учет двух подходов демонстрирует т.н. программа Нэша, предлагающая решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр. Отдельные гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Многие известные игры для двух игроков симметричны: «Дилемма заключенного», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». Вместе с тем, для этих игр можно изменить платежные матрицы так, чтобы те стали несимметричными. В качестве примеров несимметричных игр можно назвать «Ультиматум» или «Диктатор». В управленческом учете активно могут использоваться игры с нулевой суммой (т.е. с постоянной суммой, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры). Примеры: покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника. Многие игры, в т.ч. «Дилемма заключенного», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры – меньше или больше нуля; возможен фактор нулевой суммы посредством включения в игру фиктивного игрока, т.е. будет ли игра с «нулевой» или «ненулевой» суммой – зависит от ее формализации. Например, игрой с отличной от нуля суммой являются торговля, в которой все участники извлекают выгоду, го, шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество, – в этих случаях сумма игры увеличивается. Примером, где она уменьшается, является военный конфликт.

Вместе тем, в параллельных играх игроки ходят одновременно и не знают о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных (динамических) играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но они имеют как минимум неполную информацию о предшествующих действиях других игроков (к примеру, ясно, что противник «А» из 15 своих стратегий точно не выбрал 4, а противник «В» – 5, при этом ему ничего не известно об остальных стратегиях противников).

В теории множеств рассматриваются также игры, продолжающиеся бесконечно долго, так что победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов. Задача здесь чаще всего состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске выигрышной стратегии. Большинство изучаемых игр дискрет ны. В системах управления важную роль играют метаигры – их результатом является совокупность сценарных регламентов для других игр (целевых или игр-объектов) с целью увеличения эффективности получаемого набора правил, нередко на основе теории оптимальных механизмов.

Собственно игры представляют собой строго определенные математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока, указанием выигрышей или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

• наличие двух и более участников;
• неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;
• различие (несовпадение) интересов участников;
• взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;
• наличие правил поведения, известных всем участникам (т.н. «единые правила» – игрок не может нарушить их).

В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр, наряду с теориями транзакционных издержек и «патрон – агент», будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории управления и теории организации. Следует отметить, что уже в 1980-х гг. М. Портер ввел в обиход некоторые ключевые понятия теории игр, в частности, такие, как «стратегический ход» и «игрок». Однако эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.

Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином «ход». Действия могут быть связаны с ценами конкурентов, объемами продаж компании, затратами на маркетинговые мероприятия, научные исследования, логистику и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют т.н. «платежи» (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах (преимущественно дисконтированная прибыль).

Еще одним основным понятием теории игр является стратегия игрока. Под стратегией понимаются все возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему «лучшим ответом» на действия других игроков. Относительно концепции управленческой стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

Обычно выделяют нормальную, или матричную, форму и развернутую, заданную в виде дерева.

Чтобы установить связь со сферой управления, игру можно описать следующим образом. Два предприятия, производящих сходную продукцию, стоят перед выбором. В одном случае они могут войти на рынок посредством высокой цены, которая обеспечит им среднюю картельную прибыль ПK. При вступлении в жесткую конкурентную борьбу или «ценовую войну» они получают прибыль ПW. Если один из конкурентов устанавливает высокую цену, а второй – низкую, то последний реализует монопольную прибыль ПM, другой же несет убытки ПG. Такая ситуация может, например, возникнуть в случае, если обе компании должны объявить свою цену, которая впоследствии не может быть существенно изменена.

При отсутствии жестких условий обоим предприятиям выгодно определить низкую цену. Стратегия «низкой цены» является доминирующей для любой компании: вне зависимости от того, какую цену выбирает конкурирующая компания, самой компании всегда предпочтительнее устанавливать низкую цену. Но в таком случае перед компаниями возникает дилемма, т.к. прибыль ПK (которая для обоих игроков выше, чем прибыль ПW) не достигается. Стратегическая для двух компаний комбинация «низкие цены / низкие цены» с соответствующими платежами представляет собой равновесие Нэша, при котором ни одному из игроков невыгодно сепаратно отходить от выбранной им стратегии. Подобная концепция равновесия является принципиальной при разрешении стратегических ситуаций, но при определенных обстоятельствах она все же требует усовершенствования.

Что касается указанной выше дилеммы, то ее решение зависит, в частности, от уникальности ходов игроков. Если предприятие имеет возможность пересмотреть свои стратегические переменные (в данном случае – цену), то может быть найдено некое кооперативное решение проблемы без жесткой регламентации позиций игроками по отношению друг к другу. При многократных контактах игроков появляются возможности прийти к приемлемой «компенсации». Так, при известных обстоятельствах нецелесообразно стремиться к краткосрочной сверхприбыли путем ценового демпинга, если в дальнейшем может возникнуть «ценовая война».

Предоставление игры в нормальной форме, как правило, отражает принцип «синхронности». Однако это означает не столько «одновременность» событий, сколько определяет то, что выбор стратегии игроком осуществляется в условиях неведения о выборе стратегии игроком-соперником. При развернутой форме такая ситуация реализуется через т.н. овальное пространство (или информационное поле). При отсутствии этого поля игровая ситуация приобретает такой характер: сначала решение принимается одним игроком, а другой игрок принимает решение уже вслед за ним.

Применение теории игр для принятия стратегических управленческих решений эффективно при проведении принципиальной ценовой политики, экспансии на новые рынки, различных формах кооперации и создании совместных предприятий, определении лидеров и исполнителей в области НИР и инноваций, вертикальной интеграции и т.д. Положения данной теории можно использовать для всех видов управленческих решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, не обязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также сотрудники. Инструментарий теории игр особенно эффективен, когда между участниками процесса существуют важные зависимости в области платежей.

Приведем пример с соперничеством компаний в области технологического лидерства. Исходной является ситуация, когда предприятие А ранее обладало технологическим превосходством, но в настоящее время располагает меньшими финансовыми ресурсами для научных исследований и разработок (НИР), чем его конкурент В. Оба предприятия решают дилемму: попытаться ли с помощью крупных капиталовложений добиться доминирующего положения на данном рынке в соответствующей технологической области. Если оба конкурента инвестируют крупные средства, то перспективы на успех у предприятия А будут лучше, хотя оно и понесет большие финансовые расходы (как и предприятие В). Ситуация может быть представлена платежами с отрицательными значениями.

Для предприятия А оптимальнее, если предприятие В откажется от конкуренции. С большой вероятностью предприятие В победило бы в «ценовой войне» в случае, если предприятие А приняло бы секвестированную политику инвестиций, а предприятие В – объемную и масштабную. Анализ ситуации показывает, что равновесие наступает при высоких затратах на НИР у предприятия В и низких – у предприятия А. При любом другом сценарии развития событий у каждого из конкурентов появляется мотивация для отклонения от стратегической комбинации: для предприятия А выгоднее будет сокращенный бюджет, если предприятие В откажется от участия в конкурировании; одновременно предприятию В известно, что при низких затратах конкурента ему выгодно инвестировать в НИР.

Предприятие, обладающее технологическим преимуществом, может прибегнуть к анализу ситуации на базе теории игр с тем, чтобы в конечном итоге добиться оптимального решения. С помощью внешних коммуникаций оно может сигнализировать окружению на рынке, что готово осуществить крупные затраты на НИР. Если такой сигнал не поступает, то для предприятия В в нормальной ситуации управления становится понятно, что предприятие А выбирает вариант низких затрат.

О достоверности сигнала, как правило, в современной практике свидетельствуют «внешние» обязательства предприятия. В данном случае это могут быть сигналы о закупке новых лабораторий или найме на работу дополнительного высококвалифицированного и высокооплачиваемого научно-исследовательского персонала. С точки зрения теории игр данные обязательства равнозначны изменению хода игры: ситуация одновременного принятия решений сменяется ситуацией последовательных ходов. Предприятие А недвусмысленно демонстрирует намерение осуществить крупные затраты, предприятие В фиксирует этот сигнал, и у него нет более мотивации для участия в соперничестве. Новое равновесное состояние определяется здесь ситуациями «неучастие предприятия В» и «высокие затраты на НИР предприятия А».

С помощью инструментария теории игр достаточно эффективно определить, при каких условиях двум «недружественно» настроенным партнерам целесообразно сотрудничать и добиваться оптимальных для них результатов – достичь ситуации «выигрыш / выигрыш». Вместе с тем, необходимо отметить определенные ограничения в применении аналитического инструментария теории игр. В указанных случаях он может быть использован только при условии получения дополнительной информации либо коренной перестройке системы принятия решений:

1. у предприятий сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, они недостаточно информированы о возможностях друг друга; либо менеджмент поражен элементами «двойного послания», при этом задачами управления являются уже не объединение, интеграция всех сторон и аспектов деятельности организации и участков, их частных целей для достижения общей цели данной системы, а воспроизводство ложных «карт» с отрывом от территории. Например, может иметь место неясная (искаженная) информация о платежах конкурента (структуре издержек). При этом, если ситуация характеризуется только неполнотой не очень сложной информации (и нет искажения управленческих коммуникаций за счет элементов «двойного послания»), то вполне эффективно можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий;
2. теорию игр довольно неэффективно применять при множестве ситуаций равновесия. Проблема неэффективности может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений;
3. в случае, если ситуация принятия стратегических решений сложная или сверхсложная, игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты решений в рамках инструментария теории игр.

При усложнении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться эффективными алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями . В случае искажения управленческих коммуникаций и учета за счет элементов «двойного послания» принципиальное, лежащее в основе теории игр предположение о т.н. «общем знании» (игра со всеми правилами известна игрокам, и каждый из них знает, что все игроки осведомлены о том, что известно остальным партнерам по игре; такое положение сохраняется до конца игры) неэффективно. Тем более, такие предпосылки, как, например, «взаимное знание» или «рационализируемые стратегии», для системы принятия решений с «двойными посланиями» не имеют никакого значения. В заключение отметим, что теория игр является очень сложной областью экономико-математического, коммуникативного и семантического знания. При ее использовании необходимы умеренность и четкое знание границ ее применения. Упрощенные толкования, принимаемые компанией самостоятельно или при помощи консультантов, могут быть крайне опасны. Игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и, в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причем победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов. Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами – «выиграл» или «проиграл» – ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.

Управленческий анализ и аудит на основе теории игр из-за ее сложности можно рекомендовать лишь для особо важных проблемных областей менеджмента. Опыт некоторых компаний убеждает нас в том, что использование инструментария теории игр предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных стратегических (либо группы связанных тактических) решений, например, при подготовке крупных договоров в сфере слияний и поглощений, масштабной экспансии на рынки и т. п.

Список литературы

Версия для печати

Эту статью можно послушать. Если вам так удобнее, включайте подкаст.

Теория игр — математический метод анализа, позволяющий чётко предсказать последствия поступков, в том числе романтических. Судьбоносные встречи, любовь с первого взгляда, секреты успешных долговременных отношений идеально описываются теорией игр.

Чтобы не быть голословными, пройдёмся по распространённым ситуациям, которые переживает каждая пара, и проанализируем их с точки зрения математики. Результатом станет абсолютно точное понимание, как надо действовать, чтобы выиграть в любовной игре.

Когда можно соглашаться на секс на первом свидании

Это одна из самых частых дилемм, над которыми раздумывают девушки, встретившие, как им кажется, мужчину своей мечты.

Как это бывает

С одной стороны, мужчина прекрасен, первое свидание просто волшебно, вы очарованы друг другом настолько, что интимное продолжение рандеву кажется более чем естественным, но… А вдруг, если секс случится так быстро, мужчина подумает, что девушка слишком доступна, и разочаруется в ней? Окей. Но если притвориться недотрогой, вдруг он решит, что девушка слишком старомодна и скучна?

Какой вариант предпочесть, если каждый из них в одинаковой мере может быть как выигрышным, так и проигрышным?

Стандартный совет, даваемый в подобных случаях, звучит так: «Действуйте так, как велит сердце». Однако это неверно.

Что говорит теория игр

Британские экономисты (да-да, именно экономисты!) выяснили Romance Really Is A Game — And Game Theory Will Give You Some Answers , почему женщине выгоднее растягивать период ухаживаний, откладывая первый секс на потом. И помогла им в этом именно теория игр.

Исследователи рассмотрели, какие стратегии выбирают мужчины и женщины на этапе ухаживаний. Собственно, ухаживания и рассматривались как игра, в которой выигрышем для мужчины считается секс, а для женщины — секс с «хорошим» мужчиной, заботливым и ответственным, с которым можно рассчитывать в том числе на длительные отношения.

Проанализировав стратегии, учёные пришли к, в общем-то, предсказуемому выводу. «Хорошие» мужчины в среднем склонны ухаживать дольше, чем «плохиши» — те, кто рассматривает женщину исключительно как сексуальный объект и способ самоутверждения (очередную звёздочку на фюзеляже).

А это значит, что девушке, нацеленной на серьёзные отношения, выгоднее откладывать секс.

Так она получает сразу два преимущества. Во-первых, у неё появляется время, чтобы понять, к какому именно типу относится её мужчина. Во-вторых, плохие партнёры на этапе затянувшегося ухаживания отсеиваются сами собой. А значит, если мужчина сходил на три или четыре платонических свидания, шанс, что он хороший, повышается.

Здесь, правда, стоит сделать важную ремарку. Вышеописанная модель отражает лишь один из вариантов игры, где выигрышем для женщины являются долгосрочные отношения. Если же девушка нацелена на иной выигрыш, к примеру страстный курортный роман без претензий на продолжение, ситуация меняется. В этом случае растягивать период ухаживаний нет смысла, поэтому секс на первом свидании вполне обоснован.

Важно лишь понимать, что именно является выигрышем именно для вас. И тогда пазл сложится.

Что лучше: поскандалить или простить

The Huffington Post рассмотрел Dating and Game Theory: How to Make Better Decisions in Your Love Life
ситуацию недопонимания, рано или поздно возникающего между партнёрами, и вывел вариант её максимально бескровного и взаимовыгодного решения.

Представьте ситуацию: пятница, на часах 18:30, а на 20:00 у вас намечено свидание. Ради него вы уже отказались от предложений провести вечер с друзьями или роднёй. Как можно быстрее вернувшись домой с работы, вы приняли душ и теперь стоите перед шкафом, раздумывая, что бы надеть.

Человек, с которым вы идёте на свидание, важен для вас, вы хотите произвести на него впечатление, поэтому наряд выбираете тщательно. Тем более что у вас заказан столик в лучшем ресторане города, вы ждали этого дня с понедельника и теперь предвкушаете встречу.

В этот момент тренькает смартфон. «Прости, не могу разговаривать. На работе завал, давай встретимся в другой раз, позже перезвоню».

Разочарование, обида, даже злость — вот что вы чувствуете в этот момент. Что дальше? Кажется, что вариантов всего два.

1. Гневно высказать партнёру всё, что вы думаете о нём и вашем испорченном вечере. Однако этот вариант чреват разрывом отношений, если партнёр откажется признавать вину и извиняться.
2. Несмотря на бушующую в душе ярость, сделать вид, что ничего особенного не произошло. «Завал? Конечно, я понимаю, встретимся в другой раз». Но в этом варианте тоже есть риски: если вы будете раз за разом прощать такое пренебрежение вашими интересами, в конце концов вам сядут на шею.

Так как же поступить, чтобы не ущемить себя и не поставить под удар отношения?

В теории игр на этот случай имеется кейс под названием «дилемма заключённого». Его суть описывается несложной полицейской историей.

Положим, есть два сообщника, которых полиция поймала на месте преступления. Чтобы однозначно доказать их вину, правоохранителям требуется признание хотя бы одного. Подельников рассаживают по разным камерам и каждому озвучивают следующие условия:

1. Если оба откажутся сотрудничать с полицией и будут молчать, каждый отсидит по шесть месяцев.
2. Если каждый чистосердечно признается, обоим дадут по два года.
3. Если признается только один, а второй будет молчать, то первого сразу же отпустят на свободу, а второму впаяют целых десять лет.

На первый взгляд кажется, что оптимальная стратегия — обоим дружно молчать (сотрудничать). Но это в теории. На практике же заключённые не общаются друг с другом, а значит, каждый из них не может отбрасывать риск того, что партнёр сдаст его с потрохами ради личной свободы. Если один признается, то и второму лучше признаваться, чтобы не получить максимальный срок.

С точки зрения теории игр, в этом случае оптимальный вариант — признаваться (то есть не сотрудничать друг с другом). Только таким образом каждый игрок гарантированно минимизирует свои возможные потери.

Однако тут есть важное но. Подобная стратегия — предавать и ждать предательства от партнёра — оправданна лишь в том случае, если речь идёт о краткосрочных отношениях. В «дилемме заключённого» подельники отказались от сотрудничества — и разбежались с минимальными потерями. Скандалить можно, только если вам важно отстоять свои права и сэкономить нервы (высказав всё, вам не придётся копить обиду и тратить лишнее время на переживания), а совместное будущее для вас — вопрос десятый.

Если же вы оба планируете продолжать отношения, наиболее выгодной становится честная игра, в которой вы повторяете действия партнёра.

То есть, пока он сотрудничает, сотрудничаете, а когда перестаёт — в свою очередь отказываетесь от сотрудничества.

В ситуации отменённого свидания наиболее рациональное решение, предлагаемое теорией игр, выглядит так. Вам следует выразить недовольство действиями отменившего рандеву партнёра (ведь тем самым он отказался от сотрудничества). Однако, если за этим последуют извинения (возвращение к сотрудничеству), партнёра стоит простить и забыть о досадном инциденте.

Как сохранить отношения надолго

«И жили они долго и счастливо» — некоторым парам удаётся этот трюк, некоторым нет. И здесь тоже важную роль играет та часть теории игр, которая говорит о грамотном сотрудничестве.

Чем дольше вы живёте вместе, тем больше «дилемм заключённого» у вас накапливается. Вы не всегда понимаете друг друга, у каждого возникают обстоятельства, вынуждающие так или иначе ущемлять партнёра, поэтому без недоразумений и обид, увы, не обойтись. Что же делать, чтобы под этим грузом отношения не рухнули?

Ещё в 1984-м известный американский политолог Роберт Аксельрод издал книгу «Эволюция сотрудничества». В ней он сформулировал наиболее выигрышную стратегию, позволяющую сохранить долгосрочное деловое и политическое партнёрство. Но к личным отношениям подход Аксельрода тоже применим. В общих чертах стратегия выглядит примерно так:

1. Сотрудничайте с партнёром, пока он сотрудничает с вами

Соглашайтесь с ним, идите ему навстречу, ищите компромиссы, доверяйте и не изменяйте.

2. Выражайте недовольство, если сотрудничество прекращается

Если партнёр не выполнил данное вам обещание, в одностороннем порядке отменил запланированное обоими событие, нагрубил вам (вашим родным) или в чём-то обманул, важно чётко и недвусмысленно озвучить, что вы недовольны этим фактом. Это является своеобразным манифестом: вы тоже объявляете, что готовы отказаться от сотрудничества.

3. Прощайте

Если после вашего манифеста партнёр выразил желание вернуться к сотрудничеству — извинился, исправил ошибки — тоже возвращайтесь к сотрудничеству. В общем, ведите себя, как партнёр в предыдущем раунде игры, повторяйте его ходы.

4. Будьте открыты

Для взаимовыгодных отношений важно, чтобы партнёры понимали мотивы и намерения друг друга. Поэтому не стоит манипулировать, обманывать, следить, тайком читать переписку, обижаться «не скажу из-за чего, догадайся сам» и мстить исподтишка.

Чем более вы ясны и открыты, тем проще партнёру вас понимать. А понимание — тот самый ключик к сакраментальному «и жили они долго и счастливо», без чего немыслим любовный хеппи-энд.